實數系統

編輯

《九章算術》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述，但卻加以廣泛應用，以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書，但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如：合分術（加法）、減分術（減法）、乘分術（乘法）、經分術（除法）、課分術（比較大小）、約分術（簡化分數）與平分術（平均數）[7]。

《九章算術》出現負數概念，方程式章為了配合方程式術的算法，給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之」。加法為「異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」。其中「除」是減，「益」是加，「無入」是指沒有對方，不過乘除法並未記載[7]。

《九章算術》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理數給予一定的論述，基本上具備實數系統的雛形[7]。

比例與盈虧算法

編輯

粟米章所述今有術，即是四項比例算法，按術文「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」[7]。

今有術在《九章算術》應用非常廣泛，為一種解題的基本算法。另一種常用的算法是衰分章的衰分術，為配分比例算法。其術文為：「各置列衰，副併為法，以所分乘未併者各自為實，實如法而一」[7]。

《九章算術》以列衰的倒數為列衰，稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的算法，就是均輸章的均輸術。《九章算術》不但有正比例算法、而且還有反比例算法、複比例算法、連比例算法以及配分比例算法。這些算法都是以今有術為基礎，發展而匯集起來的各種算法[7]。

盈不足術是中國古代一種解算術難題的算法。一般算術應用題，都有確切答案。盈不足術為了推算答案，預先設立一個數字作為答案，依題目核算，若結果合問題，所設之數就是答案；若不合問，非盈即不足；通過兩次假設，即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種，即一盈一不足，兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算術》則匯集這五種問題，並給出算法[7]。

盈不足章除了擁有算術應用問題外，還包括一些初等超越方程式問題，用這種模式算法解出前一類問題得到確切解，用以解後一類問題則得近似解[7]。

求積與勾股

編輯

《九章算術》論述的幾何圖形，多為直線型和圓型的圖形，根據算田畝的需要，《九章算術》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積算法。另外由於土木建築的需要，《九章算術》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積算法，這些體積算法的編排，由簡單到複雜，形成獨特的理論體系[7]。

勾股計算，《九章算術》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似[7]。

勾股互求，即是已知勾股的一般線段，推求其他線段。勾股整數，即是《九章算術》給出推求勾、股、弦，都是整數的算法。勾股兩容，為推求勾股形內接正方形及內切圓的算法。勾股相似，為利用相似勾股形性質，進行簡單測遠、測高的算法[7]。

《九章算術》對幾何問題的處理，分為三部分，有體積算法、面積算法、線段算法，分別隸屬於商功、方田、勾股三章[7]。

開方與方程式

編輯

《九章算術》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法，可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算術》記載的這些算法非常詳盡，經由這些論述，可以了解中國古代代數學發展的成果[7]。

開平方術、開立方術，不但可以解出二項二次方程式、二項三次方程式，而且可以解出一般的二次數值方程式和三次數值方程式。它是中國古代解出高次數值方程式的基礎，在數學的發展也有重要地位[7]。

方程式章所論「方程式」，地位相當於今天線性方程組。所論「方程式術」，為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思，「直除法」為連續相減消去法，在理論上、算法上與今天加減消去完全一樣[7]。

在方程式章所列十八題中，有的相當於二元一次方程組，有的相當於三元一次方程組，也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為：「今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深，綆長各幾何」。所問是六個未知數之值，依題意只能列出五個一次方程式，可見這是世界上最早的一次不定方程組[7]。